Я не математик, поэтому просьба относится к моим математическим постам с большой осторожностью - вероятность ошибок в них очень велика. Возможно, обычный IE для чтения моих постов с формулами не подходит - в этом случае нужно установить дополнительные математические фонты или использовать другие браузеры. Для записи формул я использую вот эту таблицу дополнительных символов.
Доверяйте друг другу. Доверяйте друг другу.
21 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Да, у меня сейчас "математическая фаза". Некоторые не выдержали. Я их могу понять. Но подобное случалось и раньше, поэтому сильно не отфренживайте. Все должно вернуться.
Доверяйте друг другу.
12 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Equipments by Mike Shulman. Кусочек попытаюсь перевести:
"... Но в действительности сейчас существует множество разновидностей теории категорий: обычная теория категорий, теория обогащенных категорий, теория внутренних категорий, теория расслоенных категорий, и т.д. И появляется ощущение, что мы снова повторяем те самые "все время одни и те же вещи": определяем пределы и копределы, доказываем теоремы для сопряженных функторов и монадичности и т.д. Тогда не можем ли мы "формализовать" все существенные аспекты теории категорий аналогичным образом, и если да то как?
Ожидаемый ответ "да, с помощью 2-категорий". Возможно, это прозвучит несколько неожиданно, но 2-категорий не всегда достаточно."
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Вдогонку, тут еще один важный момент есть - мотивация. Мои мотивации, конечно, не вполне нормальны с точки зрения математика. Иными словами, если какое-то понятие даже и сформулировано на чисто категорном языке, но осмыслено и применяется лишь в какой-то одной области математики - для меня еще нет достаточной мотивации к его изучению. Пусть оно великолепно и "произвело фурор" - в моих глазах оно сомнительно. Но иногда я считаю себя обязанным очистить его от сомнений, хотя бы попытаться - так происходит сейчас с теорией деформации.
Только те понятия, которые показали свою применимость сразу в нескольких областях (а весь "стволовой" ряд определений ТК удовлетворяет этому требованию) могут быть мне интересны.
"Джентльменский набор" тех областей, родство которых я хотел бы видеть более отчетливо - это топология, алгебра, CS и логика. Но анализ, конечно, был бы великолепным приобретением этой коллекции (и тут у меня большая надежда на переосмысленные когомологии).
Доверяйте друг другу.
4 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Почему важно стараться говорить на языке теории категорий? В этом, как мне кажется, основной смысл: не изобретать специальных техник и языков, которые были бы непонятны в других областях. Конечно, это кажется сейчас научной фантастикой, как и многие другие мои записи, но именно это привело меня к занятиям математикой и ТК. Я всегда интересовался единством знания, а это подразумевает единство языка - или же хотя бы движение к нему, желание его. Теория категорий предлагает большой выбор языковых средств, позволяющих расширить область взаимопонимания и не выдумывать что-либо ad hoc. И этими средствами нужно пользоваться. Последний пример, лично для меня - теория деформации. Например, определения трех первых (0,1,2) когомологий Хохшилда ассоциативной алгебры выписываются сразу же явно, если записать 2-категорное естественное преобразование для функторных деформаций (в том тексте много ляпсусов все же выявилось, я готовлю более обширный с исправлениями и дополнениями). Есть основания надеяться, что n-категорное обобщение теории функторных деформаций позволит выявить все когомологии просто в составе формул для соответствующих естественных преобразований. Т.е. здесь явно проводится замена языка на некоторый унифицированный: вместо когомологий - скелет категории n-функторов.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Из словаря Ушакова:
"МЕЧТАТЕЛЬ, мечтателя, м. человек, склонный предаваться мечтам, обольщаться мечтами, фантазер. В глухой безмолвный мрака час мечтатель юный..., исполнен тайною тоской, мечтаньем вдохновенный. Пушкин. Неисправимый мечтатель. (человек, не знающий жизни, не способный к активному участию в жизни и способный только мечтать). В этих углах проживают странные люди - мечтатели...; мечтатель не человек, а, знаете, какое-то существо среднего рода. Достоевский. И прослывешь у них мечтателем опасным. Грибоедов."
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Гипотезу, выдвинутую в предыдущей записи, я бы хотел еще немного разъяснить, используя алгебраическую аналогию. Рассмотрим некоторый программный продукт S и спецификацию его расширения E. И то и другое, я думаю многие мои читатели понимают, возможно интерпретировать как просто некоторые алгебраические прибамбасы (перевожу "gadget"). Замечу, что E следует понимать как спецификацию той функциональности, что должна быть добавлена к S, а не того, что должно в результате получиться. Что такое "расширение продукта S удовлетворяющее E"? По сути ведь это серединка M короткой точной последовательности: E → M → S(в некотором ее расширительном понимании). Здесь морфизм π: E → M указывает на те части продукта M, которые отвечают за реализацию функциональности, описанной в E, а морфизм λ: M → S доказывает наличие обратной совместимости. Последовательность будет точной если и только если M не добавляет ничего к S, кроме того, что необходимо для реализации E (т.е. только образ морфизма π стирается морфизмом λ, и ничто иное). Далее, благодаря Баецу, теперь мы понимаем, что категория таких расширений 2-эквивалентна 2-категории функторов из S в End( E). Cкелет последней, насколько я понимаю, является аналогом и обобщением некоторой группы когомологий, которую по идее можно посчитать. Конечно, не относитесь ко всему этому как к чему-то математически точно мною выраженному, это лишь идеи и аналогии. Однако, на мой взгляд, благодаря развивающейся алгебраической технике (сизигии, некоммутативные когомологии, деформации и расширения) все это довольно близко к состоянию реализуемости и в алгебре, и в программном коде.
Доверяйте друг другу.
5 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Пожалуй, теперь можно еще точнее сформулировать некоторые идеи, которые я когда-то в довольно смутной форме предложил в конце записи "Проектирование, типовые решения и математика." Моя более узкая гипотеза будет выглядеть так:
Классификация всевозможных расширений программного продукта может быть вычислена (автоматически, по определенному алгоритму).
Несомненно, тут возникает множество вопросов: классификация с какой точностью, что это нам даст и т.п. Во всяком случае, это должно дать разработчику уверенность в том, что некоторое множество желаемых расширений не отсекается данной реализацией. Это множество расширений может быть формально специфицировано и проверка их осуществимости (трудозатратности) таким образом тоже станет автоматической.
Возможно, еще лучше говорить об автоматической оценке нижней границы трудозатрат.
Все пока довольно смутно, надо еще подумать... :)
Чтиво.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Поправил вчерашний текст и заменил слова "внутреннее представление" на "регулярное представление". Однако подозреваю, что все равно там остается что-нибудь способное покоробить слух профессионала. Поэтому у меня большая просьба к читателям-математикам: там всего две странички, посмотрите пожалуйста мельком и если что смущает/не нравится, сообщите мне. Ну очень-очень прошу.
Доверяйте друг другу.
18 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Я пытался применить идеологию Баецовских лекций по n-категориям и когомологиям к теории деформации и получился вот такой небольшой текст. Полностью воспроизвести все, что нужно, мне пока не удалось - уж очень громоздкие расчеты, но определенная аналогия видна и так. Идея в том, чтобы искать деформации ассоциативных алгебр как моноидальные функторы (когда алгебра рассматривается как моноидальная категория). В этом случае получаются формулы, практически совпадающие со стандартными для теории деформации, во всяком случае в первом порядке. Упрощение же, которое я сделал, состоит в том, чтобы искать функторы в алгебру эндоморфизмов модуля, а не алгебры, как полагается. Те сведения по теории деформации, которые нужны для понимания, умещаются на страницах 17-18 книги Концевича и Сойбельмана (ps). Upd: Я там пишу "внутреннее представление", подразумевая нечто вроде присоединенного. Т.е. действие алгебры умножениями на себя как на модуль. А как правильно это назвать?
Доверяйте друг другу.
13 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Еще одна аналогия с теорией деформации пришла в голову. Я наверное полгода-год назад читал об автоматике, позволяющей делать операцию на бьющемся сердце. Идея в том, что инструментарий отслеживает движение сердца и движется вместе с ним. Хирург видит свои действия через камеру и ему кажется, что сердце неподвижно (ну или оперируемый участок неподвижен).
Ну может я где-то приврал, читал давно уже. Но суть была примерно в этом.
Так вот, операция на бьющемся сердце - это деформация операции на остановленном. В обозначениях той моей записи μ - операция на остановленном, μ' - на работающем, а f - функция инструментария.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Я все сравниваю для себя работу программиста и работу математика, которой пытаюсь в последнее время заниматься. Конечно, программирование в моем восприятии несравнимо легче. Когда замысел есть, у меня обычно нет никаких сомнений, что его удастся осуществить, что он в принципе осуществим. Это дает моральную поддержку, которую я раньше не мог оценить.
Другое дело математический замысел. Обычно он тоже скрывает нечто в принципе осуществимое. Но первые проверки чаще всего выдают его ошибочность в нужном контексте. Тут нужно гораздо больше упорства и смелости - и мне именно этого часто не хватает - чтобы, натолкнувшись на первые неосуществимости все-таки продолжать искать в выбранном направлении. Никакой моральной поддержки, никаких библиотек, где легко можно найти что-то готовое :). Только интуиция и спасительный счет, который нужно, наверное, просто полюбить.
Доверяйте друг другу.
2 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Я второй день проверяю это и не могу найти ошибок. Кажется, наконец-то у меня действительно что-то получилось.
Но ведь это здорово, если это верно. Тогда куча разрозненных понятий о деформации получают ясную и четкую ТК-формулировку. К тому-же соответствующую геометрической интуиции.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Если расчеты, которые я привел в предыдущей записи, верны, то деформацию можно понимать с системной точки зрения как "горячую замену блоков". Иначе говоря, вот у нас есть система и процессы, протекающие в ней, удовлетворяют некоторым законам. И вот есть процесс изменения такой системы - например, замена всех блоков на новые "на лету". Так вот, законы деформации говорят, на мой взгляд, нечто почти тавтологичное: при поочередной замене всех блоков в каждый момент система должна удовлетворять всем законам, т.е. оставаться работоспособной - даже если мы заменили лишь один блок, а остальные остались старыми. О возможности n-категорной интерпретации системики я уже говорил.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
In two previous entries ( first, second) I introduced the artificial notation, in order to show (or find :)) the correspondence between deformation and 2-categorical extension of internal monoids. But I've just found the direct proof of this correspondence and now I can show that the ordinary first-order deformation is always such the 2-categorical extension. OK, start from the same formula as in the previous entry, associativity condition: Id μ*(Id id⊗Id μ) = Id μ*(Id μ⊗Id id) And deform it by f:μ→μ' without any artificial notations: ( Read more... )Now moving any algebra (which is internal monoid in Vect) from Vect to Vect[ h, h2=0] and deforming it (in our 2-categorical style) we obtain the usual condition for the first-order deformation of associative algebra directly from (1). So now I think I understand what deformation is category-theoretically. But where is categorification? :) I don't know yet but it should be here :).
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Now I wish to apply the formal notation appeared in that entry to the deformation of internal monoid, with multiplication μ and associativity condition μ·(id⊗μ) = μ·(μ⊗id). Going to monoidal 2-category this condition takes the form Id μ*(Id id⊗Id μ) = Id μ*(Id μ⊗Id id) where * is horisontal composition. (here we do not perform categorification - we don't replace equation by morphism) Let's deform now Id μ with 2-morphism f:μ→μ f. We just substitute Id μ with Id μ + fh in the associativity condition: ( Read more... )What does it mean exactly, i.e. without the word "formally"? I still don't know. But it is still supported by geometric intuition of monoidal 2-diagrams, so I'll try to find it out. continued: direct proof
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
На мой взгляд, деятельностный и языковой подходы в философии очень напоминают категорификацию в математике. Когда мы забываем о деятельности, мы рассматриваем эквивалентность предметов (или их обозначений) как данность: 2 + 2 = 4 Однако переходя к рассмотрению деятельности или языка, мы начинаем интересоваться процессом установления этого факта. Тогда нас интересуют процессы f: 2 + 2 → 4 и обратный. Upd: Возможно, я привел несколько неудачный пример. Я не подразумеваю логику и теорию доказательств - хотя теория доказательств тоже к этому имеет отношение.
Доверяйте друг другу.
11 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Deformation theory is all about categorification. I think John Baez or his associates try to make this fact geometrically (or "homotopically") obvious. But maybe it's possible to go counter-way and show the purely algebraic representation of categorification - using the algebraic deformation theory. Brief idea. Imagine a monoidal category and morphisms (both of type A→A for simpicity) f and g composed: g· f ("·" for the usual composition of morphisms). I'm going to write this term using formal variable " h" as id + fh + gh2(1) reading "id acts on the zero-level, f acts on the first level and g acts on the second" (of course, we will need an associator for such terms in order to consider this as weakly-associative composition). In this notation all possible terms representing the tensor product are automatically considered if we think it is product of polynomials. For example, f⊗ g becomes (id + fh)⊗(id + gh) = id⊗id + (id⊗ g + f⊗id) h + ( f⊗ g) h2(2) ( Read more... )continued: internal monoid case
Доверяйте друг другу.
2 есть | обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
Куда бы выложить мои pdf-ы?
Upd: Уже придумал.
Доверяйте друг другу.
обсудить | запомнить | сообщить другу | ссылка
|
![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small}
